Материалы сессии

Вопросы к экзамену
по курсу «Математика» (математический анализ)

1. Понятие функции одной переменной. Способы задания функции (та­бличный, аналитический, графический). Некоторые специальные классы функций (ограниченные, монотонные, четные, нечетные, периодические). Обратная функция. Сложная функция.
2. Основные элементарные функции и их графики: степенная, показатель­ная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.
3. Числовые последовательности:  определение, способы задания, при-
   меры. Операции над числовыми последовательностями.
4. Определение предела числовой последовательности.  Свойства сходя-­
   щихся последовательностей.   Число "е" как предел последовательности
   (1 + 1/n)n при n > ?.
5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свой­ства.
6. Определение предела функции по Коши и по Гейне. Эквивалентность двух определений (без доказательства).   Односторонние пределы.   Тео­ремы о пределах функций.
7. Первый и второй замечательные пределы.
8. Бесконечно малые ибесконечно большие функции, их свойства. Экви­валентность бесконечно малых (бесконечно больших) функций. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно малых (бесконечно больших) функций.
9. Непрерывность функции в точке.  Непрерывность суммы, разности,
   произведения и частного непрерывных функций.   Непрерывность слож-­
   ной функции.   Непрерывность функции справа (слева) в точке.  Непре­-
   рывность функции на интервале и отрезке. Непрерывность элементарных
   функции.
10. Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва. Вертикаль-­
    ные асимптоты графиков функций.
11. Определение производной функции. Физический смысл производной. Геометрический смысл производной. Управление касательной к графику функции. Левая и правая производные.
12. Основные правила дифференцирования: производная постоянной, суммы, разности, произведения и частного. Производная сложной и обратной функций. Таблица производных основных элементарных функций.
13. Производные высших порядков.
14. Логарифмическая производная и ее применение.
15. Неявное и параметрическое задание функции. Производная функции, заданной неявно и параметрически.
16. Дифференциал функции, его геометрический смысл.  Дифференци-руемость функции в точке, эквивалентность дифференцируемости суще­ствованию в точке конечной производной (без доказательства).  Непре­рывность дифференцируемой функции.
17. Правило Бернулли-Лопиталя раскрытия неопределенностей.
18. Теорема Тейлора, формула Тейлора с остаточным членом в формах Лагранжа и Пеано. Разложение по формуле Маклорена функций еx, sin x,cos x, ln(l + x), (1 +:r)a.
19. Монотонные функции. Достаточное условие монотонности функции на. промежутке.
20. Локальный экстремум функции.  Необходимое и достаточные условия локального экстремума функции.
21. Понятие выпуклости графика функции на промежутке. Достаточное условие выпуклости вверх(вниз) функции.
22. Точки перегиба графика функции. Необходимое условие точки перегиба функции,  достаточное условие.
23. Асимптоты графика функции.
24. Числовой ряд.   Сходимость числового ряда.   Свойства сходящихся рядов. Сумма бесконечной геометрической прогрессии.
25. Признаки сходимости знакоположительных рядов. Знакочередующи­еся ряды.
26. Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда.
27. Ряды Тейлора и Маклорена.
28. Первообразная и неопределенный интеграл.   Свойства неопределен-ного интеграла. Таблица, основных неопределенных интегралов.
29. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирова­ние, метод подстановки, интегрирование по частям.
30. Определенный интеграл: определение, геометрическая интерпрета-ция.  Основные свойства определенного интеграла.  Формула Нъютона-Лейбница. Основные правила интегрирования: замена переменной в опре-деленном интеграле и интегрирование по частям.
31. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку. Несобствен-ные интегралы от неограниченной функции на отрезке. Признаки сходи-мости несобственных интегралов.